Logarithm. Paano makalkula ang logarithm?

Logarithm. Ang isang positibong numero \ (c \) para sa base \ (a \) \ ((a> 0, isang \ neq1) \) ay tinatawag na isang tagapagpahiwatig ng degree \ (b \), kung saan ang base \ (a \) dapat ay dadalhin upang makuha ang numero \ (c \) \ ((c> 0) \), i.e.

\ (a ^ {b} = c \) \ (\ leftrightArrow \) \ (\ log_ {a} {c} = b \)

Ipaliwanag nang mas madali. Halimbawa, \ (\ log_ {2} {8} \) ay katumbas ng lawak kung saan ang (2 \) ay dapat gawin upang makakuha ng \ (8 \). Samakatuwid ito ay malinaw na \ (\ log_ {2} {8} = 3 \).

Mga halimbawa:

\ (\ log_ {5} {25} = 2 \)

Dahil \ (5 ^ {2} = 25 \)

\ (\ log_ {3} {81} = 4 \)

Dahil \ (3 ^ {4} = 81 \)

\ (\ log_ {2} \) \ (\ Frac {1} {32} \) \ (= - 5 \)

Dahil \ (2 ^ {- 5} = \) \ (\ Frac {1} {32} \)

Argumento at base logarithm.

Ang anumang logarithm ay may sumusunod na "anatomya":

: \ (isa \)

Ang logarithm argument ay karaniwang nakasulat sa antas nito, at ang base ay isang substrate font na mas malapit sa logarithm sign. At ang entry na ito ay binabasa tulad nito: "Logarithm dalawampu't-limang batay sa limang."

Paano makalkula ang logarithm?

Upang makalkula ang logarithm - kailangan mong sagutin ang tanong: kung anong lawak kung saan dapat gawin ang pundasyon upang makakuha ng argumento?

Halimbawa , Kalkulahin ang logarithm: a) \ (\ log_ {4} {16} \) b) \ (\ log_ {3} \) \ (\ Frac {1} {3} \) c) \ (\ log {\ \ sqrt {5}} {\} \) g) \ (\ log} {\ sqrt {7}} {\ sqrt {7}} \) d) \ (\ log_ {3 } {Qrt {3}} \)

a) Anong antas ang dapat itayo \ (4 \) upang makakuha ng \ (16 \)? Malinaw naman sa pangalawa. Samakatuwid:

\ (\ log_ {4} {16} = 2 \)

b) Aling antas ang dapat itayo \ (3 \) upang makakuha \ (\ Frac {1} {3} \) ? Sa minus ang una, dahil ito ay ang negatibong degree "lumiliko ang bahagi" (dito at pagkatapos ay gamitin ang mga katangian Degree. ).

\ (\ log_ {3} \) \ (\ Frac {1} {3} \) \ (= - 1 \)

c) Aling antas ang dapat itayo \ (\ sqrt {5} \) upang makakuha ng \ (1 \)? At ano ang degree na gumawa ng anumang bilang isa? Zero, siyempre!

\ (\ log {\ \ sqrt {5}} {1} = 0 \)

d) Anong antas ang dapat itayo \ (\ sqrt {7} \) upang makakuha ng \ (\ sqrt {7} \)? Sa una - ang anumang numero sa unang antas ay sa iyong sarili.

\ (\ log {\ \ sqrt {7}} {\ sqrt {7}} = 1 \)

e) Anong antas ang dapat itayo \ (3 \) upang makakuha ng \ (\ sqrt {3} \)? Ng Mga Katangian ng Degree. Alam namin iyan root. - Ito ay isang fractional degree, at pagkatapos ay isang parisukat na ugat ay isang degree \ (\ Frac {1} {2} \) .

\ (\ log_ {3} {\ sqrt {3}} = \) \ (\ Frac {1} {2} \)

Halimbawa : Kalkulahin ang logarithm \ (\ log_ {4 \ sqrt {2}} {8} \)

Desisyon :

\ (\ log_ {4 \ sqrt {2}} {8} = x \)

Kailangan nating hanapin ang halaga ng logarithm, tinutukoy namin ito para sa X. Ngayon ginagamit namin ang kahulugan ng logarithm:

\ (\ log_ {a} {c} = b \) \ (\ leftrightArrow \) \ (a ^ {b} = c \)

\ ((4 \ sqrt {2}) ^ {x} = 8 \) Ano ang binds \ (4 \ sqrt {2} \) at \ (8 \)? Dalawa, dahil pareho, at ang isa pang numero ay maaaring kinakatawan Degree.

Dalawa:

\ (4 = 2 ^ {2} \) \ (\ sqrt {2} = 2 ^ {\ frac {1} {2}} \) \) \ (8 = 2 ^ {3} \)

\ ({(2 ^ {2} \ cdot2 ^ {\ frac {1} {2}})} ^ {x} = 2 ^ {3} \)

Sa kaliwa, ginagamit namin ang mga katangian ng degree: \ (a ^ {m} \ cdot a ^ {n} = a ^ {m + n} \) and \ ((a ^ {m}) ^ {n} = a ^ {M \ cdot n} \)

\ (2 ^ {\ frac {5} {2} x} = 2 ^ {3} \) Ang mga basahan ay pantay, pumunta sa pagkakapantay-pantay ng mga tagapagpahiwatig

\ (\ Frac {5x} {2} \)

\ (= 3 \)

Multiply parehong bahagi ng equation sa \ (\ frac {2} {5} \)

\ (x = 1.2 \) Ang nagresultang ugat at ang halaga ng logarithm.

Tingnan din:

Sagot.

: \ (\ log_ {4 \ sqrt {2}} {8} = 1.2 \)

Bakit dumating ang logarithm?

Upang maunawaan ito, lutasin natin ang equation: \ (3 ^ {x} = 9 \). Pumili lamang ng \ (x \) upang ang pagkakapantay-pantay ay nagtrabaho. Siyempre, \ (x = 2 \).

At ngayon magpasya ang equation: \ (3 ^ {x} = 8 \). Ano ang x? Iyon ang punto. Ang pinaka-curly ay sasabihin: "X ay bahagyang mas mababa sa dalawa." At paano eksaktong isulat ang numerong ito? Upang sagutin ang tanong na ito at dumating sa logarithm. Salamat sa kanya, ang sagot dito ay maaaring nakasulat bilang \ (x = \ log_ {3} {8} \). Gusto kong bigyan ng diin ang \ (\ log_ {3} {8} \), tulad ng

Halimbawa Ang anumang logarithm ay isang numero lamang

Desisyon :

. Oo, mukhang hindi karaniwan, ngunit maikli. Dahil kung nais naming i-record ito sa anyo ng isang decimal fraction, ito ay magiging ganito: \ (1,892789260714 ..... \)

: Magpasya ang equation \ (4 ^ {5x-4} = 10 \)

\ (4 ^ {5x-4} = 10 \)

\ (4 ^ {5x-4} \) at \ (10 ​​\) ay hindi maaaring humantong sa isang base. Kaya hindi kinakailangan na gawin nang walang logarithm.

Ginagamit namin ang kahulugan ng logarithm:

\ (a ^ {b} = c \) \ (\ leftrightArrow \) \ (\ log_ {a} {c} = b \)

\ (\ log_ {4} {10} = 5x-4 \) Mirror na i-on ang equation upang maging sa kaliwa \ (5x-4 = \ log_ {4} {10} \)

Bago sa amin

Linear equation.

. Inilipat namin ang \ (4 \) sa kanan.

At huwag takutin ang logarithm, ituring ito bilang isang normal na numero. \ (5x = \ log_ {4} {10} +4 \)

Hatiin ang equation para sa 5.

\ (x = 1.2 \) : \ (5x = \ log_ {4} {10} +4 \)

\ (x = \)

\ (\ Frac {\ log_ {4} {10} +4} {5}}}}}}}}

Narito ang aming ugat. Oo, mukhang hindi karaniwan, ngunit ang sagot ay hindi napili.

Decimal at natural logarithm. Tulad ng ipinahiwatig sa kahulugan ng logarithm, maaaring ito ay anumang positibong numero, maliban sa yunit ((isang> 0, a \ neq1) \). At sa lahat ng posibleng lugar ay may dalawang tao na nakatagpo nang madalas na para sa mga logarithms sila ay dumating sa isang espesyal na maikling record: Natural logarithm: logarithm, kung saan ang base ay ang bilang ng Euler \ (e \) (katumbas ng humigit-kumulang \ (2,7182818 ... \)), at nakasulat sa gayong logarithm bilang \ (\ ln {a} \).

I.e,

Decimal at natural logarithm. \ (\ ln {a} \) ay katulad ng \ (\ log_ {e} {a} \) Natural logarithm: logarithm, kung saan ang base ay ang bilang ng Euler \ (e \) (katumbas ng humigit-kumulang \ (2,7182818 ... \)), at nakasulat sa gayong logarithm bilang \ (\ ln {a} \).

kung saan ang \ (a \) ay isang numero.

Decimal logarithm: logarithm, kung saan ang base ay 10, ay naitala \ (\ lg {a} \).

\ (\ lg {a} \) ay katulad ng \ (\ log_ {10} {a} \)

Pangunahing logarithmic identity.

Ang mga logarithm ay may maraming mga katangian. Ang isa sa mga ito ay tinatawag na "pangunahing logarithmic identity" at ganito ang hitsura nito:

Ang property na ito ay dumadaloy nang direkta mula sa kahulugan. Tingnan natin kung paano lumitaw ang formula na ito.

Alalahanin ang kahulugan ng logarithm maikling rekord: Kung \ (a ^ {b} = c \), pagkatapos ay \ (\ log_ {a} {c} = b \) Iyon ay, \ (b \) ay katulad ng \ (\ log_ {a} {c} \). Pagkatapos ay maaari naming sa formula \ (a ^ {b} = c \) isulat \ (\ log_ {a} {c} \) sa halip na \ (b \). Ito ay naka-out \ (a ^ {\ log_ {a} {c}} = c \) ay ang pangunahing logarithmic identity.

Halimbawa Ang natitirang mga katangian ng logarithms maaari mong mahanap

Desisyon :

dito

. Sa kanilang tulong, maaari mong pasimplehin at kalkulahin ang mga halaga ng mga expression na may logarithms na mahirap kalkulahin sa noo.

: Hanapin ang halaga ng expression \ (36 ^ {\ log_ {6} {5}}}}}

\ (36 ^ {\ log_ {6} {5}} = \) Hindi namin agad gamitin ang ari-arian \ (a ^ {\ log_ {a} {c}} = c \), dahil sa pundasyon ng degree at sa base ng logarithm - iba't ibang mga numero. Gayunpaman, alam namin na \ (36 = 6 ^ {2} \) \ (= (6 ^ {2}) ^ {\ log_ {6} {5}} = \)

Alam ang formula \ ((a ^ {m}) ^ {n} = a ^ {m \ cdot n} \), pati na rin kung ano

multiplier.

ay maaaring mabago sa mga lugar, binago namin ang pagpapahayag

\ (= 6 ^ {2 \ cdot \ log_ {6} {5}} = 6 {log_ {6} ^ {log_ {6} {5} \ cdot2} = (6 ^ {log_ {6} {5}} ^ {2} = \)

\ (x = 1.2 \) Ngayon ay madali naming gamitin ang pangunahing pagkakakilanlan ng logarithmic.

\ (= 5 ^ {2} = 25 \)

Handa na ang sagot.

: \ (25 \)

Paano i-record ang numero bilang isang logarithm?

Tulad ng nabanggit sa itaas - ang anumang logarithm ay isang numero lamang. Kanan at baligtarin: Anumang numero ay maaaring maitala bilang isang logarithm. Halimbawa, alam namin na \ (\ log_ {2} {4} \) ay katumbas ng dalawa. Pagkatapos ay maaari kang sumulat sa halip ng dalawang (\ log_ {2} {4} \).

Ngunit \ (\ log_ {3} {9} \) ay katumbas din sa \ (2 \), nangangahulugan ito na maaari mo ring isulat ang \ (2 = \ log_ {3} {9} \). Katulad nito at c \ (\ log_ {5} {}} \), at c \ (\ log_ {9} {81} \), atbp. Iyon ay, lumiliko ito

\ (2 = \ log_ {2} {4} = \ log_ {log_ {4} {16} = \ log_ {5} {25} = \ log_ {6} {36} = \ log_ {7} {49} ... \)

Kaya, kung kailangan namin, maaari naming, kahit saan (hindi bababa sa equation, hindi bababa sa expression, hindi bababa sa hindi pagkakapantay-pantay), magsulat ng dalawa bilang isang logarithm sa anumang base - isulat lamang ang base sa square bilang isang argumento .

Katulad nito, na may triple - maaari itong isulat bilang \ (\ log_ {2} {8} \), o bilang \ (\ log_ {3} {27} \), o bilang \ (\ log_ {4} {64 } \) ... Narito kami bilang isang argumento ay nagsusulat kami ng base sa Cuba:

\ (3 = \ log_ {2} {8} = \ log_ {log_ {log_ {log_ {} {log_ {log_ {5} {216} = \ log_ {7} {343} ... \)

At foursome: \ (\ Frac {1} {2} \) \ (4 = \ log_ {log_ {log_ {log_ {log_ {log_ {5} {log_ {log_ {6} {696} = \ log_ {7} {2401} ... \) \ (\ Frac {1} {3} \) At may minus isa: \ (- 1 = \) \ (\ log_ {2} \) \ (= \) \ (\ log_ {3} \) \ (= \) \ (\ log_ {4} \) \ (\ Frac {1} {4} \) \ (= \) \ (\ log_ {5} \) \ (\ Frac {1} {5} \) \ (= \) \ (\ log_ {6} \) \ (\ Frac {1} {6} \)

\ (= \) \ (\ log_ {7} \)

\ (\ Frac {1} {3} \) \ (\ Frac {1} {7} \)

\ (... \)

At may isang ikatlo:

Halimbawa \ (= \ log_ {2} {\ sqrt [3] {2}} = \ log_ {3} {\ sqrt [3] {3}} = \ log_ {4} {\ sqrt [3] {4}} = \ log_ {5} {\ sqrt [3] {5} {\ sqrt [3] {6}} = \ log_ {7} {\ sqrt [3] {7}} .. . \) Atbp.

Desisyon :

Atbp. Anumang bilang \ (a \) ay maaaring kinakatawan bilang isang logarithm na may base \ (b \): \ (a = \ log_ {b} {b ^ {a}} \)

: Hanapin ang halaga ng expression.

\ (\ Frac {\ log_ {2} {14}} {1+ \ log_ {2} {7}}}} \ (= \) Anumang bilang \ (a \) ay maaaring kinakatawan bilang isang logarithm na may base \ (b \): \ (a = \ log_ {b} {b ^ {a}} \)

I-convert namin ang isang yunit sa logarithm gamit ang base \ (2 \): \ (1 = \ log_ {2} {2} \) \ (= \) \ (\ Frac {\ log_ {2} {2} {\ log_ {2} {2} + \ log_ {2} {7}}}

\ (\ Frac {\ log_ {2} {14}} {1+ \ log_ {2} {7}}}} Ngayon ginagamit namin Property Logarithm. : Anumang bilang \ (a \) ay maaaring kinakatawan bilang isang logarithm na may base \ (b \): \ (a = \ log_ {b} {b ^ {a}} \)

\ (\ log_ {a} {b} + \ log_ {a} {c} = \ log_ {a} {(BC)} \)

\ (\ Frac {\ log_ {2} {2} {\ log_ {2} {(2 \ cdot7)}} \)

\ (= \)

\ (x = 1.2 \) \ (\ Frac {\ log_ {2} {14}} {\ log_ {2} {14}}}}

Sa numerator at denamineytor, ang parehong mga numero - maaari silang i-cut. \ (= 1 \) Handa na ang sagot.

Leave a Reply